الفرق بين التفاضل والتكامل

التفاضل والتكامل هو فرع مهم من فروع الرياضيات ، ويلعب التفاضل دورًا مهمًا في حساب التفاضل والتكامل. تُعرف العملية العكسية للتفاضل بالتكامل ، ويُعرف المعكوس بالتكامل ، أو ببساطة ، يعطي معكوس التفاضل التكامل. بناءً على النتائج التي ينتجونها ، يتم تقسيم التكاملات إلى فئتين ، أي تكاملات محددة وغير محددة.

لا يتجزأ محدد

1

لا يتجزأ من و (خ) هو NUMBER ويمثل المنطقة الواقعة تحت المنحنى و (خ) من عند س = أ إلى س = ب.

التكامل المحدد له حدود علوية وسفلية على التكاملات ، ويسمى محددًا لأنه في نهاية المشكلة لدينا رقم – إنها إجابة محددة.

لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى

2

التكامل غير المحدد لـ f (x) هو دالة ويجيب على السؤال ، “ما الوظيفة عند التفاضل يعطي و (خ)؟ “

مع التكامل غير المحدد ، لا توجد حدود علوية وسفلية للتكامل هنا ، وما سنحصل عليه هو إجابة لا تزال موجودة xبداخله وسيكون له أيضًا ثابت (يُشار إليه عادةً بـ ج) فيه.

عادةً ما يعطي التكامل غير المحدد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية.

التكامل غير المحدد هو شكل عام للتكامل ، ويمكن تفسيره على أنه مضاد مشتق للوظيفة المدروسة.

افترض تمايز الوظيفة F يؤدي إلى وظيفة أخرى F، وتكامل f يعطي التكامل. رمزيا ، هذا مكتوب باسم

F (x) = ∫ƒ (x) dx

أو

F = ∫ƒ dx

حيث كلاهما F و ƒ هي وظائف xو و F قابل للتفاضل. في الشكل أعلاه ، يُطلق عليه تكامل Reimann ويصاحب الوظيفة الناتجة ثابتًا تعسفيًا.

غالبًا ما ينتج التكامل غير المحدود مجموعة من الوظائف ؛ لذلك ، التكامل غير محدد.

تعتبر عمليات التكامل والتكامل في صميم حل المعادلات التفاضلية. ومع ذلك ، على عكس خطوات التفاضل ، لا تتبع خطوات التكامل دائمًا روتينًا واضحًا وقياسيًا. من حين لآخر ، نرى أنه لا يمكن التعبير عن الحل صراحة من حيث الوظيفة الأولية. في هذه الحالة ، غالبًا ما يتم تقديم الحل التحليلي في شكل تكامل غير محدد.

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل

يرتبط التكامل المحدد وغير المحدد بالنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على النحو التالي: من أجل حساب لا يتجزأ، أعثر على تكامل غير محدد (المعروف أيضًا باسم مضاد الاشتقاق) للوظيفة وتقييمه عند نقاط النهاية س = أ و س = ب.

سيكون الفرق بين التكاملات المحددة وغير المحددة واضحًا بمجرد تقييم التكاملات لنفس الوظيفة.

ضع في اعتبارك التكامل التالي:

3

حسنا. لنفعل كلاهما ونرى الفرق.

للتكامل ، نحتاج إلى إضافة واحد إلى الفهرس الذي يقودنا إلى التعبير التالي:

4

في هذا الوقت ج هو مجرد ثابت بالنسبة لنا. هناك حاجة إلى معلومات إضافية في المشكلة لتحديد القيمة الدقيقة لـ ج.

دعونا نحسب التكامل نفسه في صورته المحددة ، مع تضمين الحدين العلوي والسفلي.

5

من الناحية الرسومية ، نقوم الآن بحساب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى و (س) = ص3 ما بين ص = 2 و ص = 3.

الخطوة الأولى في هذا التقييم هي نفس التقييم المتكامل غير المحدود. الفرق الوحيد هو أننا لا نضيف الثابت هذه المرة ج.

يبدو التعبير في هذه الحالة كما يلي:

6

هذا بدوره يؤدي إلى:

7

في الأساس ، استبدلنا 3 ثم 2 في التعبير وحصلنا على الفرق بينهما.

هذه هي القيمة المحددة مقابل استخدام الثابت ج سابقا.

دعنا نستكشف العامل الثابت (فيما يتعلق بالتكامل غير المحدد) بشيء من التفصيل.

إذا كان الفارق ذ3 يكون 3 س2، ثم

3 س2د = ص3

ومع ذلك، 3 س2 يمكن أن يكون تفاضلًا للعديد من التعبيرات التي يتضمن بعضها ذ3-5، ذ3+7، إلخ .. هذا يعني أن الانعكاس ليس فريدًا لأن الثابت لا يُحسب أثناء العملية.

بشكل عام ، 3 س2 هو تفاضل ذ3+ ج أين ج هو أي ثابت. بالمناسبة ، يُعرف C باسم “ثابت التكامل”.

نكتب هذا على النحو التالي:

3 س2.dx = y3 + ج

يمكن أن تضيف تقنيات التكامل لتكامل غير محدد ، مثل البحث في الجدول أو تكامل Risch ، انقطاعات جديدة أثناء عملية التكامل. تظهر هذه الانقطاعات الجديدة لأن مضادات المشتقات يمكن أن تتطلب إدخال لوغاريتمات معقدة.

تحتوي اللوغاريتمات المعقدة على توقف للقفز عندما تعبر الوسيطة المحور الحقيقي السلبي ، ولا تستطيع خوارزميات التكامل أحيانًا العثور على تمثيل حيث تلغي هذه القفزات.

إذا تم تقييم التكامل المحدد عن طريق حساب تكامل غير محدد أولاً ثم استبدال حدود التكامل في النتيجة ، يجب أن ندرك أن التكامل غير المحدد قد ينتج عنه انقطاعات. إذا كان الأمر كذلك ، فيجب علينا أيضًا التحقق من حالات التوقف في فترة التكامل.

المصدر

أضف تعليق